La notion topologique de connexité par arcs est un raffinement de la notion de connexité. Un espace topologique est dit connexe par arcs si deux points quelconques peuvent toujours être reliés par un chemin. En fait, la connexité est la notion fondamentale. Mais la connexité par arcs est plus intuitive, et se trouve être très souvent la meilleure façon de prouver la connexité.

Chemins

Avant de définir la connexité par arcs il faut définir ce qu'on appelle « relier par un chemin ». Selon le cadre où l'on se trouve on peut considérer des chemins particuliers.

Chemins dans un espace topologique

Si E ! est un Espace topologique et si x ! et y ! sont deux points de E !, on appelle chemin d'origine x ! et d'extrémité y ! toute application continue γ : → E ! telle que γ(0) = x ! et γ(1) = y !.

On dit que x ! et y ! sont reliés si et seulement s’il existe un chemin d'origine x ! et d'extrémité y !.

Propriété : La relation « x ! est relié à y ! » est une relation d'équivalence :

• x ! est relié à x ! ;

(grâce au chemin constant ∀ t ∈ , γ(t) = x !)

• si x ! est relié à y ! alors y ! est relié à x ! ;

(grâce au chemin opposé

∀ t ∈ ,

–– γ

(t) = γ (1-t) !

)

• si x ! est relié à y ! et y ! est relié à z ! alors x ! est relié à z ! ;

(si γ ₁ ! relie x ! à y ! et γ ₂ ! relie y ! à z ! alors le chemin composé γ = γ ₂ ⋆ γ ₁ ! défini par γ(t) = γ ₁ (2t) ! si

0 ≤ t ≤

1 –– 2

!

et γ(t) = γ ₂ (2t-1) ! si

1 –– 2

≤ t ≤ 1 !

relie x ! à z !)

Chemins dans un espace vectoriel normé

Dans le cas où l'espace ambiant E ! est un espace vectoriel normé, on peut préciser la nature des chemins qui relient les points.

• Chemins rectilignes : un chemin est dit rectiligne si et seulement s'il peut s'écrire

  ∀ t ∈ , γ(t) = x + t

  → u

  !

  .

  → u

  !

  est appelé vecteur directeur de γ !. Le support du chemin est alors un segment de droite.

• Chemins polygonaux : un chemin est dit polygonal si et seulement s’il s'écrit comme un composé d'un nombre fini de chemins rectilignes. Par exemple, un trajet dans Manhattan est un chemin polygonal.

• Chemins de classe C ^k ! : un chemin peut être de classe C ^k ! avec k ≥ 0 !. En fait tout chemin est de classe C ⁰ ! c'est-à-dire continu, mais on peut avoir des niveaux de régularité supérieurs. Un chemin de classe C ^k ! avec k ≥ 1 ! sera dit de plus régulier si ∀ t ∈ ]0,1 Un espace topologique E ! est dit connexe par arcs si et seulement si tout couple de points de E ! est relié par un chemin.

  Une partie A ! de E ! est dite connexe par arcs si et seulement si tout couple de points de A ! est relié par un chemin restant dans A !.

  Une partie A ! d'un espace vectoriel normé est dite connexe par arcs polygonaux (resp. par arcs C ^k !) si deux points quelconques de A ! peuvent être reliés par un chemin polygonal (resp. de classe C ^k !).

  Lien avec la connexité

  En apparence la connexité par arcs est très proche de la connexité ; on pourrait croire que « pouvoir toujours relier deux points » est équivalent à « être d'un seul tenant ». En fait on peut seulement affirmer : tout espace connexe par arcs est connexe.

  La différence est subtile, et il est difficile d'exhiber un contre-exemple pour invalider la réciproque. Le contre-exemple classique est le suivant :

  • on définit la fonction continue

    f : ]0,1] → R, x ↦ cos

    (

    1 –– x

    )

    !

    ;
  • on note Γ = { (x,f (x)) | x ∈ ]0,1] } ! le graphe de f ! ;
  • on note

    C =

    –– Γ

    = Γ ∪( { 0 } × ) !

    l'adhérence de Γ !.

  Alors Γ ! est connexe comme graphe d'une fonction continue, C ! est connexe comme adhérence d'une partie connexe. Mais on peut montrer que C ! n'est pas connexe par arcs.

  Cependant tout ouvert connexe d'un espace vectoriel normé est connexe par arcs. De même, tout ouvert connexe d'une variété topologique est connexe par arcs. Le principe de la preuve est le même dans ces deux situations : si U est l'ouvert en question, on démontre que l'ensemble des points de U que l'on peut relier à un point donné a est non vide, ouvert et fermé dans U.

  Lien avec la continuité

  La connexité par arcs, comme la connexité, est conservée par les applications continues.

  En effet si E ! et F ! sont deux espaces topologiques, et si f : E → F ! est une application continue, alors pour toute partie connexe par arcs X ! de E !, l'image f (X) ! est elle aussi connexe par arcs.

  Si (x,y) ∈ f (X) ² ! on peut trouver a ! et b ! dans X ! tels que x = f (a) ! et y = f (b) !, et un chemin γ : → X ! reliant a ! à b !. Alors l'application composée γ ' = f ∘ γ : → f (X) ! est continue, et relie x ! à y !.

  On a des résultats similaires pour les types plus spécifiques de connexités par arcs :

  • la connexité par arcs polygonaux est conservée par les applications linéaires et par les applications affines ;
  • la connexité par arcs C ^k ! est conservée par les C ^k !-difféomorphismes.

  Exemples

  • Dans un espace vectoriel normé, une partie convexe ou une étoilée est connexe par arcs.
  • Un cercle est connexe par arcs C ^∞ ! lisses mais pas par arcs polygonaux.
  • Un carré est connexe par arcs polygonaux mais pas par arcs C ^∞ ! lisses.
  • Il est assez facile de voir que le plan privé des points à coordonnées rationnelles : R ²\ {Q ² ! est connexe par arcs polygonaux (en exercice). On peut démontrer qu'en réalité cet ensemble est connexe par arcs C ^∞ ! (plus difficile).
  • SO _n (R) et GL _n ⁺ (R) sont connexes par arcs (pour la topologie induite par une norme sur M _n (R)). GL _n (C) l'est également.

  Voir aussi

  • Connexité
  • Convexité
  • Connexité simple